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5. (5 分) 直线 I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点, 若椭圆中心到 I 的距离为其 短轴长的 $\frac{1}{4}$, 则该椭圆的离心率为（）

Gaokao · Math · previous-year question

  1. A.$\frac{1}{3}$
  2. B.$\frac{1}{2}$correct
  3. C.$\frac{2}{3}$
  4. D.$\frac{3}{4}$

Answer

B. $\frac{1}{2}$

Explanation

解: 设椭圆的方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 直线 I 经过椭圆的一个顶点和一个 焦点 则直线方程为: $\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1$, 椭圆中心到 1 的距离为其短轴长的 $\frac{1}{4}$, 可得: $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{b^{2}}}}=\frac{b}{2}$, $4=b^{2}\left(\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)$ $\therefore \frac{b^{2}}{c^{2}}=3$, $\frac{a^{2}-c^{2}}{c^{2}}=3$ $\therefore \mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{1}{2}$ 故选: B.

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