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11. 函数 $f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 的最小值、最大值分别为 ()

Gaokao · Math · previous-year question

  1. A.$-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$
  2. B.$-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}$
  3. C.$-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}+2$
  4. D.$-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}+2$correct

Answer

D. $-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}+2$

Explanation

【详解】 $f^{\prime}(x)=-\sin x+\sin x+(x+1) \cos x=(x+1) \cos x$, 所以 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 和 $\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$ 上 $f^{\prime}(x)>0$, 即 $f(x)$ 单调递增; 在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 上 $f^{\prime}(x)<0$, 即 $f(x)$ 单调递减, 又 $f(0)=f(2 \pi)=2, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}+2, f\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-\left(\frac{3 \pi}{2}+1\right)+1=-\frac{3 \pi}{2}$ ， 所以 $f(x)$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的最小值为 $-\frac{3 \pi}{2}$, 最大值为 $\frac{\pi}{2}+2$. 故选: D

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