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10.已知 $\triangle A B C$ 是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形, 且其顶点都在球 $O$ 的球面上. 若球 $O$ 的表面积为 $16 \pi$, 则 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

Gaokao · Math · previous-year question

  1. A.$\sqrt{3}$
  2. B.$\frac{3}{2}$
  3. C.1correct
  4. D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer

C. 1

Explanation

【详解】设球 $O$ 的半径为 $R$, 则 $4 \pi R^{2}=16 \pi$, 解得: $R=2$. 设 $\square A B C$ 外接圆半径为 $r$, 边长为 $a$, $\because \square A B C$ 是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形, $\therefore \frac{1}{2} a^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9 \sqrt{3}}{4}$, 解得: $a=3, \therefore r=\frac{2}{3} \times \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{2}{3} \times \sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{3}$, $\therefore$ 球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离 $d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{4-3}=1$. 故选: C.

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