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10. 设函数 $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$, 则 $f(x)(\quad)$

Gaokao · Math · previous-year question

  1. A.是奇函数, 且在 $(0,+\infty)$ 单调递增correct
  2. B.是奇函数, 且在 $(0,+\infty)$ 单调递减
  3. C.是偶函数, 且在 $(0,+\infty)$ 单调递增
  4. D.是偶函数, 且在 $(0,+\infty)$ 单调递减

Answer

A. 是奇函数, 且在 $(0,+\infty)$ 单调递增

Explanation

【详解】 因为函数 $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ 定义域为 $\{x \mid x \neq 0\}$, 其关于原点对称, 而 $f(-x)=-f(x)$, 所以函数 $f(x)$ 为奇函数. 又因为函数 $y=x^{3}$ 在 $(0,+\not)$ 上单调递增, 在 $(-¥, 0)$ 上单调递增, 而 $y=\frac{1}{x^{3}}=x^{-3}$ 在 $(0,+\not)$ 上单调递减, 在 $(-¥, 0)$ 上单调递减, 所以函数 $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ 在 $(0,+¥)$ 上单调递增，在 $(-\neq, 0)$ 上单调递增. 故选: A.

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