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10. （5 分) 若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a, a]$ 是减函数, 则 $a$ 的最大值是 $(\quad)$

Gaokao · Math · previous-year question

  1. A.$\frac{\pi}{4}$correct
  2. B.$\frac{\pi}{2}$
  3. C.$\frac{3 \pi}{4}$
  4. D.$\pi$

Answer

A. $\frac{\pi}{4}$

Explanation

解: $f(x)=\cos x-\sin x=-(\sin x-\cos x)=-\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$, 由 $-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leqslant x-\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{2}+2 k \pi, k \in Z$, 得 $-\frac{\pi}{4}+2 k \pi \leqslant x \leqslant \frac{3}{4} \pi+2 k \pi, k \in Z$, 取 $\mathrm{k}=0$, 得 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的一个减区间为 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4} \pi\right]$, 由 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是减函数, 得 $\left\{\begin{array}{l}-a \geqslant-\frac{\pi}{4} \\ a \leqslant \frac{3 \pi}{4}\end{array}, \quad \therefore a \leqslant \frac{\pi}{4}\right.$. 则 $a$ 的最大值是 $\frac{\pi}{4}$. 故选: A.

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