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11. (5 分) 设函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi)+\cos (\omega x+\phi)\left(\omega>0,|\phi|<\frac{\pi}{2}\right)$ 的最 小正周期为 $\pi$, 且 $f(-x)=f(x)$ ，则（ $)$

Gaokao · Math · previous-year question

  1. A.$f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递减correct
  2. B.$f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ 单调递减
  3. C.$f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递增
  4. D.$f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ 单调递增

Answer

A. $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递减

Explanation

解: 由于 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)+\cos (\omega x+\varphi)=\sqrt{2} \sin \left(\omega x+\phi+\frac{\pi}{4}\right)$, 由于该函数的最小正周期为 $\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{\omega}$, 得出 $\omega=2$, 又根据 $f(-x)=f(x)$, 得 $\phi+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z)$, 以及 $|\phi|<\frac{\pi}{2}$, 得出 $\phi=\frac{\pi}{4}$. 因此, $f(x)=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{2} \cos 2 x$, 若 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $2 x \in(0, \pi)$, 从而 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递减, 若 $x \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$, 则 $2 x \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$, 该

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