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12. (5 分) 已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 有唯一零点, 则 $a=(\quad)$

Gaokao · Math · previous-year question

  1. A.$-\frac{1}{2}$
  2. B.$\frac{1}{3}$
  3. C.$\frac{1}{2}$correct
  4. D.1 \section{

Answer

C. $\frac{1}{2}$

Explanation

解: 因为 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)=-1+(x-1)^{2}+a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right)$ $=0$, 所以函数 $f(x)$ 有唯一零点等价于方程 $1-(x-1)^{2}=a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right)$ 有唯一解, 等价于函数 $y=1-(x-1)^{2}$ 的图象与 $y=a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right)$ 的图象只有一个交点. (1)当 $a=0$ 时, $f(x)=x^{2}-2 x \geqslant-1$, 此时有两个零点, 矛盾; (2)当 $a<0$ 时, 由于 $y=1-(x-1)^{2}$ 在 $(-\infty, 1)$ 上递增、在 $(1,+\infty)$ 上递 减 且 $y=a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right)$ 在 $(-\infty, 1)$ 上递增、在 $(1,+\infty)$ 上递减, 所以函数 $y=1-(x-1)^{2}$ 的图象的最高点为 $A(1,1), y=a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right)$ 的 图象的最高点为 $B(1,2 a)$

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