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10. (5 分) 等轴双曲线 $C$ 的中心在原点, 焦点在 $x$ 轴上, $C$ 与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的 准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$, 则 $C$ 的实轴长为（）

Gaokao · Math · previous-year question

  1. A.$\sqrt{2}$
  2. B.$2 \sqrt{2}$
  3. C.4correct
  4. D.8

Answer

C. 4

Explanation

解：设等轴双曲线 $c: x^{2}-y^{2}=a^{2}(a>0)$, $y^{2}=16 x$ 的准线 I: $x=-4$, $\because \mathrm{C}$ 与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=16 \mathrm{x}$ 的准线 $1: \mathrm{x}=-4$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, $|\mathrm{AB}|=4 \sqrt{3}$ $\therefore A(-4,2 \sqrt{3}), \mathrm{B}(-4,-2 \sqrt{3})$, 将 $A$ 点坐标代入双曲线方程得 $a^{2}=(-4)^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}=4$, $\therefore a=2, \quad 2 a=4$. 故选: C.

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