Gaokao Math Practice Question

设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点, 若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足, $|P B| \leq 2 b$, 则 $C$ 的离心率的取值范围是 ($\qquad$)

1. A.$\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$
2. B.$\left[\frac{1}{2}, 1\right)$
3. C.$\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
4. D.$\left(0, \frac{1}{2}\right]$