Gaokao Math Practice Question

已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 C: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点, $A$ 是 $C$ 的左顶点, 点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的直线上, $\triangle P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形, $\angle F_{1} F_{2} P=120^{\circ}$, 则 $C$ 的离心率为 ($\qquad$)

1. A.$\frac{2}{3}$
2. B.$\frac{1}{2}$
3. C.$\frac{1}{3}$
4. D.$\frac{1}{4}$