Gaokao Math Practice Question

设正整数 $n=a_{0} \cdot 2^{0}+a_{1} \cdot 2+\cdots+a_{k-1} \cdot 2^{k-1}+a_{k} \cdot 2^{k}$, 其中 $a_{i} \in\{0,1\}$, 记 $\omega(n)=a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{k}$. 则 ($\quad$)

1. A.$\omega(2 n)=\omega(n)$
2. B.$\omega(2 n+3)=\omega(n)+1$
3. C.$\omega(8 n+5)=\omega(4 n+3)$
4. D.$\omega\left(2^{n}-1\right)=n$