Gaokao Math Practice Question

4.2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆, 我国航天 事业取得又一重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探 测器的通讯联系。 为解决这个问题, 发射了嫦娥四号中继星 “鹊桥”, 鹊桥沿着围绕地 月拉格朗日 $L_{2}$ 点的轨道运行. $L_{2}$ 点是平衡点, 位于地月连线的延长线上. 设地球质量为 $M_{1}$, 月球质量为 $M_{2}$, 地月距离为 $R, L_{2}$ 点到月球的距离为 $r$, 根据牛顿运动定律和万 有引力定律, $r$ 满足方程: $$ \frac{M_{1}}{(R+r)^{2}}+\frac{M_{2}}{r^{2}}=(R+r) \frac{M_{1}}{R^{3}} $$ 设 $a=\frac{r}{R}$, 由于 $a$ 的值很小, 因此在近似计算中 $\frac{3 a^{3}+3 a^{4}+a^{5}}{(1+a)^{2}} \approx 3 a^{3}$, 则 $r$ 的近似值 为

1. A.$\sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}} R$
2. B.$\sqrt{\frac{M_{2}}{2 M_{1}}} R$
3. C.$\sqrt[3]{\frac{3 M_{2}}{M_{1}}} R$
4. D.$\sqrt[3]{\frac{M_{2}}{3 M_{1}}} R$